A. Bentuk Umum dan Diskriminan
Bentuk umum PK adalah :
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
Contoh : 2x2 + 3x - 2 = 0
Akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai Diskriminan/ Determinan (D).
D = b2 - 4ac
- D ≥ 0, berarti PK memiliki dua akar nyata (real).
- D = 0, berarti PK memiliki akar kembar.
- D > 0, berarti PK akar-akar nyata dan berlainan.
- D > 0, berarti PK memiliki akar tidak nyata (imajiner).
B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Penyelesaian persamaan kuadrat dapat di selesaikan dengan dua cara, yaitu :
- Jika D > 0 dengan pemfaktoran
a(x-x1)(x-x2) = 0 - Dengan Rumus :
x1,2 = -b ± √b2 - 4ac 2a
C. Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat maka :
x1 + x2 = -b a
x1 . x2 = c a
x1 - x2 = ± √D a
x1 . x2 = c a
x1 - x2 = ± √D a
x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1 . x2
x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 - 3x1 . x2 ( x1 + x2 )
x12 - x22 = ( x1 + x2 )( x1 - x2 )
x13 - x23 = ( x1 - x2 )3 + 3x1 . x2 ( x1 - x2 )
x14 + x24 = [ ( x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 ]2 - 2( x1 . x2 )2
x14 - x24 = [ ( x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 ] [ ( x1 - x2 )( x1 + x2 ) ]
x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 - 3x1 . x2 ( x1 + x2 )
x12 - x22 = ( x1 + x2 )( x1 - x2 )
x13 - x23 = ( x1 - x2 )3 + 3x1 . x2 ( x1 - x2 )
x14 + x24 = [ ( x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 ]2 - 2( x1 . x2 )2
x14 - x24 = [ ( x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 ] [ ( x1 - x2 )( x1 + x2 ) ]
Rumus Praktis
Jika akar-akar PK adalah x1 dan x2 dengan x1 = x2 + n maka :
Jika x1 dan x2 akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan berlaku x1 = nx2 maka :
Jika akar-akar PK adalah x1 dan x2 dengan x1 = x2 + n maka :
D = ( n . a )2
Jika x1 dan x2 akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan berlaku x1 = nx2 maka :
nb2 = ( n +1 )2 ac
D. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Perhatikan hubungan antara jenis akar-akar x1 dan x2 pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Jenis Akar
|
Akar-akar
| ||
X1
|
X2
|
Syarat
| |
Kedua Akar Real Positif
|
+
|
+
| D ≥ 0 |
| X1 + X2 > 0 | |||
| X1 . X2 > 0 | |||
Kedua Akar Real Negatif
|
-
|
-
| D ≥ 0 |
| X1 + X2 < 0 | |||
| X1 . X2 > 0 | |||
Kedua Akar Berlawanan Tanda
|
+
|
-
| D > 0 |
-
|
+
| X1 . X2 < 0 | |
Kedua Akar Real Berlawanan
|
X1 = - X2
| D > 0 | |
| X1 + X2 = 0 | |||
| X1 . X2 < 0 | |||
E. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah :
(x - x1)(x - x2) = 0 atau x2 - (x1 + x2) x + x1.x2 = 0
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari ax2 + bx + c maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut :
- Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah nx1 dan nx2 maka invers akarnya adalah x1 n dan x2 n Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
a( x n)2 + b( x n) + c = 0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah 1 x1 dan 1 x2 (berkebalikan) maka akarnya persamaan kuadrat yang baru adalah :
cx2 + bx + a =0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah -x1 dan -x2 maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
ax2 - bx + c =0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + n dan x2 + n maka invers akarnya
x1 - dan x2 - n. Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
a(x - n)2 + b(x - n) + c =0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 - n dan x2 - n maka invers akarnya
x1 + dan x2 + n. Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
a(x + n)2 + b(x + n) + c =0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x12dan x22 maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
a2x2 - (b2 - 2ac)x + c2 = 0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 x2 dan x2 x1 maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
acx2 - (b2 - 2ac)x + ac = 0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + x2 dan x1.x2 maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
a2x2 + (ab - ac)x - bc = 0 - Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x13 dan x23 maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah :
a3x3 - (3abc - b3)x + c3 = 0
0 Response to "Persamaan Kuadrat"
Post a Comment